La razón áurea

En la antiguedad los griegos estaban sujetos a una proporción numérica específica, esencial para sus ideales de belleza y geometría, conocida como razón áurea, media áurea o divina proporción.

El valor numérico de esta razón, que se simboliza normalmente con la letra griega "fi" es:

La fama que tiene de estético le viene dada por el rectángulo áureo cuya altura y anchura están en la proporción:

De hecho, la mayoría de los rectángulos que encontramos en nuestra vida cumplen esa condición áurea: D.N.I, un libro, el carnet de la universidad, incluso la fachada de muchos edificios.

La razón áurea también podemos encontrarla en otras figuras geométricas, por ejemplo el pentágono regular, en el que la razón entre la diagonal y el lado cumple la divina proporción, pero lo que quizás nos pueda resultar más curioso es la presencia de la razón áurea en la naturaleza, ya sea en la espiral de una caracola o en la de un girasol.

También en el cuerpos humano encontramos proporciones cercanas a la razón áurea, como puede verse comparando la altura total de una persona con la que hay hasta su ombligo.

Te sugerimos que te tomes estas dos medidas y compruebes si tu altura hasta la cabeza, dividida por tu altura hasta el ombligo se aproxima a 1,61…
Quizás tienes un "cuerpo de proporción divina".

ESPEJOS ESFÉRICOS

Dejando a un lado los espejismos, hablemos de los "espejismos" que todo o casi todo el mundo tiene, cuando al probarse ese conjunto súper divino, al mirarnos en el espejo nos entran ganas de salir corriendo y ponernos a dieta.
En realidad... por métodos gráficos es fácil averiguar si nos están engañando con nuestra perfecta silueta.
Para determinar gráficamente la imagen obtenida en los espejos esféricos, hemos de considerar un objeto lineal B1A1 (esta notación la utilzamos en el primer dibujo, en el segundo la notación será A1B1) situado verticalmente sobre el eje óptico y trazaremos dos de los siguientes rayos que parten de B1.
- Un rayo paralelo al eje y que se refleja pasando por el foco F.
- Un rayo que pasa por el centro de curvatura C y se refleja volviendo sobre su trayectoria, sin desviarse.
- Un rayo que, al pasar por el foco F, se refleja paralelamente al eje.

ESPEJOS CÓNCAVOS.
Según la posición del objeto, la imagen será mayor o menor y resultará derecha o inveritda respecto a él:
- Si el objeto está a mayor distancia del espejo que el centro de curvatura, la imagen es real, invertida y de menor tamaño que el objeto.







- Si el objeto está sobre el centro de curvatura, la imagen se forma en el centro de curvatura, es real, invertida y del mismo tamaño que el objeto.









- Si el objeto se encuentra entre el centro de curvatura y el foto, la imagen es real, invertida y de mayor tamaño que el objeto.








- Si el objeto se sitúa en el foco, no se forma imagen o ésta se forma a distancia infinita, ya que los rayos reflejados son paralelos y no se cortan.

- Si el objeto está entre el foco y el polo del espejo, la imagen es virtual , derecha y de mayor tamaño que el objeto.

FENÓMENOS ÓPTICOS

Bien... visto un poco el "funcionamiento" de los espejos, pasemos a ver el "funcionamiento" de los no-espejos; esto es, los espejismos.
No aseguro que todos hayamos visto uno alguna vez, pero seguro que nos resulta familiar la imagen de ir por el desierto sedientos y aparecer ante nosotros un inmenso oasis... pero cuando nos acercamos a beber esa deseada agua... el oasis desaparece, y nos preguntamos: pero...¿Por qué?
Veamos pues, por qué el oasis quiere huir de nosotros.
En un día muy caluroso, las capas de aire próximas al suelo están a mayor temperatura que las situradas por encima de ella, por lo que son menos densas y de menor índice de refracción. Por ello, los rayos de luz procedentes de un objeto que inciden sobre la arena del desierto se curvan gradualmente y a nuestros ojos parece que la imagen del objeto se forme sobre la arena como si se tratase de un lago o un espejo.
Una muy pequeña explicación para tan caótica experiencia.

El mundo de los espejos

Bien, a estas alturas, no vamos a explicaros lo que hace un espejo. Todos tenéis por lo menos uno en casa, y habréis pasado bastantes horas delante de él pensando qué peinado os queda mejor, o si os habréis acicalado lo suficiente.

Pero este artefacto tan común en nuestras vidas, tiene en realidad miles de años. Las civilizaciones egípcia, griega, etrusca y romana, ya conocían y utilizaban los espejos. Los fabricaban con metales pulidos finamente, generalmente con cobre, bronce o plata, y el tamaño de éstos no era muy grande, ya que eran utensilios manuales.

Más adelante, en torno al siglo XVI, se empieza a considerar el espejo como mueble de pared, con lo que el tamaño de estos va creciendo cada vez más. El único problema era que los metales de los espejos se iban ennegreciendo y haciendo más opacos con el paso del tiempo. Fue por eso por lo que, en Italia, surgió la iniciativa de crear espejos con vidrio. Esto fue gracias a dos artesanos conocidos como Dominico y Andrea. El invento, a pesar de ser caro, despertó tal interés que se formó un gremio de fabricantes en Venecia que guardaba el secreto de su fabricación. En aquel entonces, de acuerdo con las leyes vigentes, se amenazaba y castigaba con pena de muerte a todo ciudadano que revelara a un extranjero el sistema de fabricación de los espejos.

La tecnología actual nos permite fabricar espejos más lisos, con materiales que permiten reflejar más cantidad de luz, y por tanto ofrecer una imagen más definida y real. Lo más utilizado actualmente es una plancha fina de aluminio o plata depositada sobre una de vidrio que la protege y hace el espejo más duradero, y aunque también se fabrican con una capa de pintura reflectante sobre el vídrio, ésto se utiliza menos porque es más complicado.

Por otra parte, gracias al estudio de los espejos , se ha conseguido "matematizarlos". Esto quiere decir que hay una serie de fórmulas que nos relacionan las imágenes reflejadas con la imagen real y la forma del espejo. En esta página encontraréis dichas fórmulas y su explicación:

FÓRMULAS

De esta manera, un espejo completamente liso, reflejará una imagen que se ajustará a las proporciones reales. En cambio, la concavidad o convexidad de un espejo significa una deformación de la imagen, de manera que se pueden conseguir imágenes más alargadas o ensanchadas, e incluso, imágenes del revés.

En Madrid, en la calle Álvarez Gato (cerca de Sol) podréis encontrar unos espejos cóncavos y convexos que deforman la imagen de todo lo que se refleja en ellos, en recuerdo de unos antiguos espejos con la misma función que Valle-Inclán utilizó para definir el esperpento.

La utilidad de los espejos no se limita únicamente a mostrarnos nuestra imagen antes de salir de casa, o a ver qué tal nos sienta la ropa del Pull&Bear. En astronomía, los espejos han servido para la creación de telescopios capaces de observar a distancias inimaginables. En el ámbito científico nos han servido para observar partículas tan pequeñas que a simple vista serían imperceptibles, gracias a los microscopios. También se utilizan como estrategia para dar la apariencia de que un habitáculo es más grande, o para alumbrar un ambiente con poca luz. En trucos de magia, en el dentista, en un coche... Siempre podremos encontrar al menos un espejo.

Es curioso cómo estos artefactos han acompañado también a una serie de mitos e historias a lo largo de los siglos, como que en un espejo, lo que uno ve es el reflejo de su alma, y es por eso por lo que los vampiros no ven nada... En relación con esto, hemos encontrado una broma bastante original que a más de uno le ha dejado con la cabeza cuadrada:

BROMA

Y por si andáis escasos de ideas para regalar algo en navidad o en algún cumpleaños, aquí os dejamos una original idea artesanal con la que os divertiréis y que, desde luego, se presenta curiosa. Utiliza un espejo común, que por un lado es opaco y por el otro refleja, y un espejo semitransparente, como los que utiliza la policía en los interrogatorios. La idea consiste en enfrentar los dos espejos e introducir entre los dos diferentes luces... ¡Veréis qué efectos más alucinantes! Os dejamos el link:

TÚNEL INFINITO

¡¡Imaginación al poder!! :D

Historia de la perspectiva-2

Disculpar el retraso a la hora de publicar la entrada pero ya sabeis, hay examen de expresión el martes......., hay que estudiar vamos. Espero que el articulo sea tan bueno que lo compense todo :)

Vamos a remontarnos al principio de la historia, durante la Antigüedad y la Edad Media no existió distinción entre óptica y perspectiva; ya fuera porque los tratados ópticos tenían carácter geométrico (textos griegos) o porque se dedicaron a problemas físicos y fisiológicos (textos árabes y medievales) en ningún caso se replanteo el problema de la representación artística. Lo cual no excluye que tuvieran lugar intentos de utilizar la perspectiva en el arte. Por ejemplo sabemos que los griegos conocía métodos para la realización de los escenarios teatrales, tal como vemos a nuestra derecha. Por otra parte en obras pictóricas de los siglos XIII y XIV aparecen esquemas geométricos y fórmulas empíricas de representación en perspectiva difundidos y transmitidos en el ámbito de los "talleres".

En el Renacimiento hubo un salto cualitativo en la búsqueda científica a una problemática artística, de la ciencia de la visión a la ciencia de la representación. Las normas de la construcción perspectiva correcta (líneas de profundidad en un punto de fuga unificado y el cálculo científico de los intervalos de profundidad) "inventadas" por Brunelleschi las cuales se codificaron en el tratado de Alberti (1436), especialmente dedicados a los pintores, y replanteados en una serie de textos durante los siglos XV y XVI.

A principios del siglo XVII con el tratado de Guidobaldo dal Monte se inicia un procesó de escisión entre hecho artístico y perspectiva que se convierte en objeto de investigación matemática y elaboración de la geometría descriptiva y la proyectiva. Ahora los tratados de perspectiva se han convertido en formularios de reglas prácticas para la reducción en perspectiva, especialmente en el campo de la arquitectura y la escenografía teatral en relación con la basta difusión europea del gusto por la cuadratura que se verifíco durante los siglos XVII y XVIII. Fue tal el poder de persuasión de la teoría de la perspectiva renacentista que nunca se puso en tela de juicio que la construcción perspectiva correcta pudiese no corresponder exactamente con la visión real. Era fuertemente abstracto y presuponía un punto de observación fijo a una distancia determinada con visión de un solo ojo perfectamente inmóvil.

En la segunda mitad del siglo XIX la perspectiva entro en crisis. Por un lado fueron los artistas(impresionismo) los que rechazaron la perspectiva como instrumento de representación naturalista; por otro, el pensamiento estético cuestiona la perspectiva, el principio mismo de la función "mimética" del arte. Los estudios sobre sobre el proceso de la visión vinculados a la incipiente psicología experimental rechazan la perspectiva como una categoría absoluta, única sobrehistórica, para investigar históricamente su desarrollo y su valided en diferentes momentos de la historia del arte. Los primeros estudios constituyen el precedente de la revisión completa y fundamental de toda la problemática llevada a cabo por E. Panofsky en su famoso ensayo. Por primera vez se duda del valor mimético y naturalista de la perspectiva y se rechaza la unicidad del sistema de reducció perspectiva, la representación del espacio se concibe como signo visible y "simbólico". Se acepta el planteamiento de Panofsky y aún hoy se acepta con matices diferentes.

Este documento es un recorte sacado de VV.AA. Enciclopedia de arte.

A continuación ponemos un cuadro de los que analizó Panofsky para sus estudios

Historia de la perspectiva

Tantos días estudiando la perspectiva en las clases de expresión pero, ¿alguno os abeis preguntado quién fue el inteligente que se le ocurrio la idea de ver las figuras desde un punto u otro?

Pues bien, para que lo sepais la perspectiva tal y como la conocemos hoy no se desarrollo como tal hasta principios del siglo XVII.

Pero vayamos por orden. Según definición de geometría descriptiva la perspectiva es "la ciencia que enseña a representar los objetos tridimnsionales en una superficie bidimensional de tal forma que la imagen en perspectiva y la que ofrece la visión directa coincidan".
Otra definición nos la encontraríamos en la historia del arte el término que nos indicaría los más diversos métodos de representación espacial. Una historia de la perspectiva coincidiría con la historia de la representación pitagórica tourt court.
En la literatura artística y la crítica de arte la palabra latina perspectiva derivaría de perspiece (ver claramente) y en griego skele (ciencia de la visión).

Mañana veremos en orden cronológico las distintas evoluciones que tuvo la perspectiva a lo largo de los años. Espero que lo disfruteis!!

Problema de Apolonio- Circunferencia que pasa por dos puntos y es tangente a una circunferencia dada.

A y B interiores

A y B exteriores




Como datos tenemos la circunferencia y los puntos A y B. Se puede hacer siendo los puntos interiores a la circunferencia o exteriores a ella.La recta AB es el eje radical de las dos circunferencias buscadas (en rojo), y también el eje radical de todas circunferencias que pasen por A y B, por ello trazamos una circunferencia auxiliar (en negro) que pasa por A y B de manera que corte a la circunferencia dada, el eje radical que forman la circunferencia trazada y la que teniamos como dato, corta a la recta AB en M que es el centro radical de las circunferencias que buscamos y la que teníamos como datos. Si trazamos las tangentes MP y MQ desde M a la circunferencia dada, MP y MQ también serán tangentes circunferencias buscadas. Teniendo en cuenta que la recta que une los centros contiene al punto de tangencia de dos circunferencias, para obtener los centros de las circunferencias buscadas trazaremos rectas que unan P y Q con el centro de la circunferencia dada, cortando a la mediatriz de AB en dichos centros.

Problema de Apolonio- Circunferencia que pasa por un punto dado y es tangente a dos rectas dadas

Trazamos la bisectriz de las dos rectas que tenemos y hallamos el punto simétrico de A, A´, así ya tenemos el problema anterior, que pase por dos puntos y sea tangente a una recta. Unimos los puntos A y A´, trazamos la circunferencia que pasa por A y A´ y desde donde nos corta la recta que forman los puntos trazamos la recta tangente a la circunferencia auxiliar y llevamos la medida de la tangente a la recta y así obtenemos los puntos de tangencia de las circunferencias solución. Los centros de dichas circunferencias se encontrarán trazando perpendiculares los puntos de tangencia en la recta dada y hallando su intersección con la bisectriz de ambas rectas.

Problema de Apolonio- Circunferencia que pasa por dos puntos dados y es tangente a una recta dada

Unimos los puntos A y B dados y prolongamos hasta cortar a la recta dada en M. Trazamos la circunferencia con diámetro AB, y seguidamente una tangente a ésta desde M. Siendo T el punto de tangencia, con centro M y radio MT trazamos una semicircunferencia que corta a la recta dada en dos puntos P y Q. Por estos puntos pasan las circunferencias buscadas, habiendo entonces en este caso dos soluciones. Los centros de dichas circunferencias se encontrarán trazando perpendiculares por P y Q a la recta dada y hallando su intersección con la mediatriz de AB.

Problemas de apolonio-Circunferencia tangente a tres rectas dadas

En este caso vamos a tener que conseguir que nuestra circunferencia sea tangente a tres rectas. Estas rectas al cortarse van a formar un triangulo. Para resolver este ejercicio nos tenemos que remontar a la teoria de geometria de los triangulos y recordar que las bisectrices de los angulos interiores del triangulo se van a cortar en un punto llamado incentro y resulta que ese punto va a ser el centro de nuestra circunferencia llamada inscrita del triangulo. Para hallar el radio de la circunferencia trazaremos una perpendicular desde una recta cualquiera de las tres hasta el centro hallado con las bisectrices y boala! ya tenemos nuestra circunferencia.

Hay que añadir que se pueden sacar otras tres circunferencias tal y como se incica en la figura superior .

Problemas de apolonio-Circunferencia que pasa por tres puntos dados

Tenemos tres puntos dados, A,B y C que nos van a formar un triangulo ABC. Tendremos tres rectas por las cuales trazamos sus mediatrices (AB, BC y AC) y el punto interseccion de las tres mediatrices va a ser el centro de nuestra circunferencia (O) El radio sera desde el punto O a cualquiera de los tres puntos, y ya tenemos nuestra circunferencia de centro O y de radio OC.

LA PERSPECTIVA

La perspectiva, una de las herramientas fundamentales en dibujo técnico y artístico, ha sido uno de los temas más abordados en todos los ámbitos, incluyendo la filosofía: “Todo depende del punto de vista desde el que se mire”, decía Nietzsche, como muchos otros. Pero… ¿Es esto verdad?

La perspectiva juega un papel muy importante en nuestras vidas. Gracias a ella, podemos distinguir, entre otras cosas, lo que está cerca y lo que está lejos. Este arte y ciencia, se apoya en los elementos más sencillos: Rectas y puntos.

Si de un punto hacemos partir un haz de rectas, obtendremos lo que denominamos líneas de fuga. Apoyándonos en esas líneas, podemos crear en un dibujo sensación de profundidad. Podemos representar las tres dimensiones en un simple lienzo de dos, y esto es algo impresionante. Conseguimos engañar a nuestra vista y a nuestro cerebro gracias a las proporciones que decidamos tomar.

Si hacemos una fotografía, plasmamos en un papel lo que nuestros ojos pueden observar. Aunque en la fotografía no vemos esos puntos y esas líneas de fuga, existen, y es gracias a ellos a los que podemos distinguir en la fotografía la lejanía de los objetos o personas retratadas.

Las líneas de fuga que van hacia un punto de fuga se corresponden con líneas que en la realidad son paralelas. Todos los objetos de líneas paralelas fugan en un punto. Asimismo, en una imagen puede haber varios puntos de fuga.

Aquí tenemos un ejemplo de cómo se crea sensación de profundidad en los juegos de ordenador para darles más realismo:

En la imagen de la izquierda vemos algunas de las líneas de fuga que existen y no se ven en la imagen de la derecha.

Otra aplicación asombrosa de los puntos de fuga, es, por ejemplo, la elaboración de los trampantojos. Aquí os dejamos algunos dibujos realizados con tizas por Julian Beever's sobre el pavimento de la calle. ¡Las apariencias, a veces, engañan!

Por último, os dejamos tres videos, cuanto menos curiosos, en los que un hombre utiliza la perspectiva para crear unos efectos ópticos alucinantes. Flipad:

ILUSIÓN PACMAN

ILUSIÓN CUBO

TUERCAS LOCAS

El Gran Geómetra: Un poco de historia.

Apolonio, más conocido como "Gran Geómetra", se cree que vivió entre los años 262 y 190 a.C aunque estos datos no son fiables 100%.
Lo que a día de hoy sí sabemos con certeza, es que, gracias a Apolonio conocemos términos tales como: parábola, elipse e hipérbola; términos que podemos encontrar en su libro: LAS CÓNICAS.
Puesto que de su vida tampoco conocemos demasiado,diremos que su inspiración para llegar a ser un geómetra fue introducida por vivir en Perga, ciudad cultural del momento.
Movido por el interés, viajó a Alejandría dónde estudió con seguidores de Euclides, a quiénes él mismo daría clase; más tarde se desplazaría a Pérgamo, dónde encontró una universidad y biblioteca similares a las de Perga, y dónde conocería tambien a Eudemo, al cuál se dirigirá en su segunda edición de las cónicas, "Si estás saludable y las cosas están en otros asuntos como deseas, todo está bien; yo también me siento moderadamente bien. Durante la época que estuve contigo en Pérgamo observé tu impaciencia por pasar a limpio mi trabajo 'Las cónicas'"
Dejando aparte sus viajes, nos centramos en su obra, nombrada anteriormente y compuesta por 8 volúmenes.
- Del I al IV forman una introducción elemental a las propiedades básicas de los conos.
- En el libro I se estudian las relaciones entre los diámetros y tangentes de los conos.
- En el libro II Apolonio investiga como se relacionan las hipérbolas con las asíntotas, y estudia además como dibujar tangentes para conseguir conos.
- Los libros V al VII son muy originales. En ellos Apolonio discute las normales a las cónicas y muestra cuantos pueden dibujarse a partir de un punto. Da proposiciones determinando el centro de curvatura que conduce a la ecuación cartesiana de la evoluta.
De hecho también se le atribuye, la hipótesis de las órbitas excéntricas o teoría de los epiciclos para intentar explicar el movimiento aparente de los planetas y de la velocidad variable de la luna.

APOLONIO

Conocido como el “Gran Geómetra”, Apolonio de Perge mostró un enorme interés por todo lo relacionado con la geometría, en especial por las cónicas. Fue quien dio nombre a la elipse, a la parábola y a la hipérbola, figuras de gran utilidad hoy en día.

Debemos tener cuidado de no confundirlo con Apolonio de Tiana, quien fue un filósofo, matemátio y místico griego de la escuela Pitagórica, ni con otros muchos filósofos griegos, ya que Apolonio era un nombre muy común en aquella época.

La mayoría de sus obras se han perdido con el tiempo. Sólo se conservan una traducción al árabe de Secciones de una razón dada, y el original de la mitad de la obra Las cónicas, siendo la otra mitad una traducción al árabe también.

Más adelante, profundizaremos en esta última obra y en el Problema de Apolonio, propuesto por él mismo, que consiste en hallar una circunferencia tangente a tres dadas. Esperamos que lo disfrutéis.